Persamaan Diophantine

Persamaan Diophantine merupakan persamaan yang solusinya harus bedada di himpunan bilangan bulat. Koefisien persamaan ini juga harus bilangan bulat. Sebagai contoh, Persamaan Diophantine diperkenalkan oleh matematikawan Yunani bernama Diophantus. Perlu diperhatikan bahwa tidak semua persamaan Diophantine mempunyai solusi. Contoh: Tentukan semua pasangan nilai dan yang memenuhi persamaan Solusi: Persamaan ini tidak mempunyai solusi. Mengapa? Ruas […]

Teorema Dasar Aritmatika

Teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa bilangan bulat yang lebih besar dari 1 merupakan bilangan prima atau dapat dibentuk dengan mengalikan beberapa bilangan prima sekaligus. Perhatikan contoh beberapa bilangan berikut: 2 bilangan prima 3 bilangan prima 4 2 x 2 5 bilangan prima 9 3 x 3 10 2 x 5 20 2 x 2 x […]

Teorema Eratosthenes

Teorema Erathosthenes: Suatu bilangan N adalah bilangan prima jika tidak ada bilangan prima p yang lebih kecil dari () yang habis membagi N. Teorema ini sering juga disebut dengan Sieve of Eratosthenes. Sebagai contoh, 43 merupakan bilangan prima, karena 2, 3, dan 5 tidak habis membagi 43. Demikian juga 2011 merupakan bilangan prima, karena 2, […]

Diagram Bilangan

Diagram bilangan menunjukkan pengklasifikasian bilangan mulai dari bilangan kompleks hingga bilangan prima atau komposit. Perhatikan diagram bilangan berikut:   Keterangan: Bilangan komposit merupakan bilangan asli yang mempunyai lebih dari 2 faktor. Contoh: 4 (faktornya adalah 1, 2, dan 4), 6, 8, 9, dan seterusnya. Bilangan prima merupakan bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor (yaitu […]

Pigeonhole Principle

Pigeon hole principle, dalam bahasa Indonesia sering disebut dengan prinsip rumah merpati atau prinsip rumah burung. merupakan prinsip yang dikemukakan oleh matematikawan bernama Dirichlet pada tahun 1834, sehingga sering juga disebut dengan prinsip Dirichlet. Pigeonhole principle ini menyatakan bahwa jika terdapat n rumah (lubang) merpati dan ada sebanyak m merpati yang akan masuk ke rumah […]

Keterbagian

Keterbagian Keterbagian merupakan sifat-sifat yang harus dimiliki suatu bilangan agar bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Di sini ‘habis’ maksudnya adalah bahwa jika dilakukan pembagian, maka hasilnya berupa bilangan bulat, bukan pecahan. Sebagai contoh, 28 habis dibagi 4, yang hasilnya adalah 7. Sedangkan 30 tidak habis dibagi 8, karena menghasilkan 4 ditambah sisa […]

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Sebagai contoh, apakah ? berlaku untuk semua bilangan asli n? Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan induksi matematika. Langkah-langkah Induksi Matematika Misalkan suatu pernyataan yang dinyatakan berlaku untuk semua bilangan asli n. Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai […]

Teorema Kecil Fermat (Fermat’s Little Theorem)

Teorema Fermat merupakan suatu teori yang sangat terkenal di bidang teori bilangan, yang dibuktikan oleh seorang matematikawan asal Prancis yang bernama Pierre de Fermat. Ada dua teorema Fermat yang terkenal, yaitu teorema kecil Fermat (Fermat’s little theorem) dan teorema terakhir Fermat (Fermat’s last theorem). Teorema kecil Fermat: Misalkan bilangan bulat positif dan sebuah bilangan prima, […]

Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM

Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM Ketaksamaan AM – GM merupakan ketaksamaan yang paling sering digunakan dalam olimpiade matematika SMA. AM merupakan singkatan dari Arithmetic Means atau rata-rata aritmatika, dan GM merupakan singkatan dari Geometric Means atau rata-rata geometris. Sifat ketaksamaan: Jika dan merupakan bilangan real positif, maka berlaku […]

Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan ini ada tak terhingga banyaknya. Sedangkan kebalikannya adalah bilangan komposit, yaitu bilangan yang mempunyai lebih dari dua faktor. Sebagai contoh, 3 adalah bilangan prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 3. 31 juga prima, karena hanya […]